关于生灭过程的期望持续时间及其在分支过程和 SIS 流行病中的应用

我们研究连续时间生灭型过程，其中个体具有独立同分布的寿命，服从随机变量 $Q$，且 $E[Q]=1$，而当种群当前处于状态（规模为）$n$ 时，出生率为 $\alpha(n)$。我们关注两个重要示例，即 $\alpha(n)=\lambda n$ 对应分支过程，以及 $\alpha(n)=\lambda n(N-n)/N$ 对应固定规模 $N$ 的均匀混合社区中的 SIS 流行病模型。假设过程从单个个体开始，即处于状态 1。设 $T$、$A_n$、$C$ 和 $S$ 分别表示生灭过程中的灭绝时间（随机）、在状态 $n$ 花费的总时间、曾经存活的个体总数以及所有个体寿命之和。本文的主要结果给出了所有这些量的期望表达式，并表明这些期望对 $Q$ 的分布不敏感。我们还推导了从地方病状态开始的 SIS 流行病期望灭绝时间的渐近表达式，但此时该时间不再独立于 $Q$ 的分布。结果也应用于家庭 SIS 流行病，表明其阈值参数 $R_*$ 对 $Q$ 的分布不敏感，这与 $R_*$ 依赖于 $Q$ 的家庭 SIR 流行病相反。