随机切换环境中多类型随机 SIS 传染病模型的大种群渐近性

我们考虑一个由随机切换环境中的多类型生灭过程描述的 SIS 传染病模型。即该过程的感染与治愈率依赖于一个有限 Markov 跳跃过程（环境）的状态，而其转移也依赖于感染人数。种群总规模恒定且等于某 K $\in$ N *，感染人数在有限时间内几乎必然消亡。我们证明，当 K $\rightarrow$ $\infty$ 时，由各类型感染比例 X^K 与环境状态 $\Xi$^K 构成的过程收敛于由随机切换常微分方程组给出的分段确定 Markov 过程（PDMP）。该 PDMP 的长期行为此前已由 Bena{"i}m 与 Strickler 研究，且仅依赖于其在 0 处线性化 PDMP 的顶级 Lyapunov 指数 $\Lambda$ 的符号：若 $\Lambda$ < 0，各群体感染比例收敛于零；若 $\Lambda$ > 0，疾病变为地方性流行。本文中，我们表明 X^K 的大种群渐近性也强烈依赖于 $\Lambda$ 的符号：若为负，则从固定初始感染比例出发疾病在至多 log(K) 量级时间内消失；若为正，典型灭绝时间至少按 K 的幂次增长。我们证明，在线性化 PDMP 可达原点的情形下，X^K 的平均灭绝时间与 K^p * 对数等价，其中 p * > 0 被完全刻画。我们还研究了 (X^K , $\Xi$^K) 的拟平稳分布 $\mu$^K，并表明当 $\Lambda$ < 0 时，（$\mu$^K）、K>0 的弱极限点由灭绝集支撑；而当 $\Lambda$ > 0 时，极限点属于极限 PDMP 的不给灭绝集赋质量的平稳分布（非空）集。