基于位势理论的热方程显式无条件稳定方法

我们研究求解热方程边值问题时由位势理论导出的第二类 Volterra 积分方程显式步进格式的稳定性。众所周知，热方程的显式有限差分或有限元格式仅当时间步长 $\Delta t$ 为 $O(\Delta x^2)$ 阶时才稳定，其中 $\Delta x$ 为最细空间网格间距。相反，对于各维度 $d\ge 1$ 下单位球上的 Dirichlet 与 Neumann 问题，我们证明最简单的 Volterra 步进格式即前向 Euler 格式是无条件稳定的。我们的证明基于步进矩阵谱半径的显式界，从而估计出积分方程解的 $L^2$-范数被 $c_dT^{d/2}$ 乘以右端项范数所界。对于任意维度下半空间上的 Robin 问题，给定常数 Robin（传热）系数 $\kappa$，我们给出常数 $C$ 使得当前向 Euler 格式满足 $\Delta t < C/\kappa^2$ 时稳定，且独立于任何空间离散化。这依赖于由凸序列定义的实对称 Toeplitz 矩阵谱的新下界。最后，我们证明前向 Euler 格式对于任意维度下任意光滑凸域上的 Dirichlet 问题在 $L^\infty$-范数下是无条件稳定的。