RIP 矩阵的显式构造是 Ramsey 困难的

满足限制等距性质（RIP）的矩阵 $\Phi\in\R^{n\times p}$ 是压缩感知方法的重要组成部分。虽然已知随机矩阵即使在 $n=\log^{O(1)}p$ 时也能以高概率满足 RIP，但此类矩阵的显式构造一直未能实现，且大多数已知方法均遭遇了所谓的 $\sqrt{n}$ 稀疏性瓶颈。显著的例外是 Bourgain 等人 \cite{bourgain2011explicit} 的工作，他们构造了一个稀疏性为 $s=\Theta(n^{{1\over 2}+\epsilon})$ 的 $n\times p$ RIP 矩阵，但处于 $n=\Omega(p^{1-\delta})$ 的区间内。在这篇短文中，我们在某种意义上解决了这一开放问题，证明了在 $n=O(\log^2 p)$ 且 $s=\Theta(n^{1\over 2})$ 的区间内显式构造满足 RIP 的矩阵，蕴含着在 $p$ 个节点上显式构造一个团大小被 $O(\log^2 p)$ 界定的三色 Ramsey 图——这是一个在极值组合学中开放了数十年的问题。