随机子流形的期望：zonoid截面
概率论
2023-03-23 v2 微分几何
度量几何
摘要
我们发展了一套基于zonoid（一类特殊的凸体）的微积分，用于计算与随机子流形Z相关的泛函的期望；Z定义为黎曼流形上光滑向量值随机场的零集。我们确定了随机场上的一组便利假设，在其下定义其zonoid截面：在流形每点p的余切空间外代数中指派一个zonoid ζ(p)。我们证明ζ(p)的第一内蕴体积是Z期望体积的Kac-Rice密度，而其心（center）计算出Z上积分期望电流。我们表明随机子流形的交对应于zonoid截面的楔积，而原像对应于拉回。结合近期发展的zonoid代数，这允许赋予Kac-Rice公式一种乘法结构，类似于流形的上同调环。此外，它建立了与凸体及赋值理论（valuations）的联系，其中包含极深且困难的结果如Alexandrov-Fenchel不等式和Brunn-Minkowsky不等式。我们将它们导出到该语境中以证明随机子流形的两个类似新不等式。在Finsler几何语境中应用我们的结果，我们证明了Finsler流形中曲线长度与子流形Holmes-Thompson体积的若干新Crofton公式。
引用
@article{arxiv.2210.11214,
title = {Expectation of a random submanifold: the zonoid section},
author = {Léo Mathis and Michele Stecconi},
journal= {arXiv preprint arXiv:2210.11214},
year = {2023}
}
备注
52 pages. The second version has a new title and an additional main result (Theorem F) that explains the title