横截相交的 Kac-Rice 公式

我们证明了一个广义的 Kac-Rice 公式，在定义良好的正则设定下，它通过将该基数表示为一个密度的积分，来计算经由随机映射的子流形原像的期望基数。我们的证明从零开始，虽遵循标准 Kac-Rice 公式证明的框架，但包含了来自测度论观点的一些新想法。进一步推广，我们将该公式扩展到任何其他类型的计数测度，例如相交度。我们深入讨论了到向量丛的光滑高斯随机截面的特化。此处，该公式计算截面与全空间给定子流形相交的期望点数，它在自然非退化条件下成立，并可使用适当的联络化简。此外，我们指出了一类子流形，称之为亚高斯(sub-Gaussian)子流形，对该类子流形公式局部有限且关于一阶 jet 的协方差连续依赖。特别地，这适用于任何可定义为 jet 延拓与 jet 空间给定半代数子流形相交点集的截面奇异性概念。我们讨论了各种应用特例，其中给出了齐性空间上 Poincar\'e 运动公式的新证明，并观察到公式在球面上各向同性高斯场处的化简。