随机单形的角与随机多胞体的面数

在 $\mathbb R^d$ 的单位球面上均匀随机选取 $d+1$ 个点。由这些点张成的单形的角和的期望值是多少？在 $d$ 维球中均匀随机选取 $n$ 个点。它们的凸包的面数的期望值是多少？我们回答了这些以及随机几何的一些相关问题。为此，我们计算了顶点独立随机取自以下 $d$ 维分布之一的随机单形的期望内角：(i) beta 分布，其密度与 $(1-\|x\|^2)^{\beta}$ 成正比，其中 $x$ 属于 $\mathbb R^d$ 中的单位球；(ii) beta' 分布，其密度与 $(1+\|x\|^2)^{-\beta}$ 成正比，其中 $x\in\mathbb{R}^{d}$。这些结果给出了以下随机多胞体的期望面数的显式公式：(a) 典型的 Poisson-Voronoi 胞；(b) Poisson 超平面镶嵌的零胞；(c) 定义为相应分布独立同分布样本的凸包的 beta 与 beta' 多胞体。