高维随机多胞形体积的相变

beta 多胞形 $P_{n,d}^\beta$ 是 $n$ 个独立同分布随机点的凸包，这些点按与 $(1-\lVert{x}\rVert^2)^{\beta}$（若 $\beta>-1$）成正比的密度分布在 $\mathbb{R}^d$ 的单位球内（特别地，$\beta=0$ 对应于球内的均匀分布），或当 $\beta=-1$ 时均匀分布在单位球面上。我们证明了高维 beta 多胞形的期望归一化体积呈现出相变，并刻画了其形状。我们推导了 beta 多胞形内禀体积的类似结果，以及当 $\beta=0$ 时其顶点数的类似结果。