可微流形上投影的存在性、唯一性与正则性

我们研究了正交投影映射$p$到子集$M\subseteq \mathbb{R}^d$上可定义的最大开域$\mathscr{E}(M)$，并研究了$p$的本质性质。我们证明，若$M$是$\mathbb{R}^d$的$C^1$子流形且满足切空间上的Lipschitz条件，则$\mathscr{E}(M)$可由一个下半连续边界函数描述。我们表明，若$M$为$C^2$或$M^c$的拓扑骨架闭，则该边界函数连续，并给出一个例子说明边界函数一般而言不必连续。我们证明，对于$k\ge 2$的$C^k$子流形$M$，投影映射在$\mathscr{E}(M)$上为$C^{k-1}$，并得到投影映射的微分公式，用于讨论其在管状邻域上高阶导数的有界性。$M\subseteq\mathscr{E}(M)$的一个充分条件是$M$为切空间满足局部Lipschitz条件的$C^1$子流形。我们以新方式证明该条件也是必要的。更确切地说，若$M$是满足$M\subseteq\mathscr{E}(M)$的拓扑子流形，则$M$必为$C^1$且其切空间满足同样的局部Lipschitz条件。最后一节致力于揭示$\mathscr{E}(M)$与$M^c$的拓扑骨架之间的某些关系。