与第二类抛物型变分不等式相关的最优控制问题的存在性、唯一性与收敛性

设 $u_{g}$ 为给定 $g$ 的第二类抛物型变分不等式的唯一解。利用正则化方法，我们对所有 $g_{1}$ 和 $g_{2}$，证明了对于 $\mu \in [0, 1]$，$\mu u_{g_{1}} + (1-\mu)u_{g_{2}}$ 与 $u_{\mu g_{1} + (1-\mu)g_{2}}$ 之间的单调性性质。这使得我们能够证明：对于每个传热系数 $h>0$，与 Newton 定律相关的一类关于 $g$ 的最优控制问题，以及与 Dirichlet 边界条件相关的另一个最优控制问题，其解的存在性和唯一性结果。我们还证明了，当 $h\to +\infty$ 时，与 Newton 定律相关的这类最优控制问题的最优控制与状态，强收敛于与 Dirichlet 边界条件相关的最优控制问题的对应量。