Caputo 分数阶奇异边值问题对称正解的存在性

在本文中，我们建立了如下 Caputo 分数阶边值问题的对称正解存在性 \begin{align*} {}^{C}D_{0}^{\,\mu}x(t)+f(t,x(t))&=0,\hspace{1cm}t\in(-1,\,1),\hspace{1cm}1<\mu\leq2,\\ x(\pm1)=x'(0^{\pm})&=0, \end{align*} 其中 ${}^{C}D_{0}^{\,\mu}x(t)={}^{C}D_{0^{+}}^{\,\mu}x(t)$ 对于 $t\geq0$，${}^{C}D_{0}^{\,\mu}x(t)={}^{C}D_{0^{-}}^{\,\mu}x(t)$ 对于 $t\leq0$。此外，$f:(-1,\,1)\times(0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ 连续且在 $t=-1$、$t=1$ 与 $x=0$ 处奇异。这里，${}^{C}D_{0^{+}}^{\,\mu}$ 与 ${}^{C}D_{0^{-}}^{\,\mu}$ 分别为阶数 $\mu$ 的 Caputo 分数阶左导数与右导数。