平面 $\mathbb{R}^2$ 中混沌的存在性及其在宏观经济学中的应用

由欧拉方程分支生成的连续动力系统中，可能出现平面 $\mathbb{R}^2$ 上的 Devaney 混沌、Li-Yorke 混沌和分布混沌。欧拉方程分支是一种微分包含 $\dot x \in \{f(x),g(x) \}$，其中 $f,g:X \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ 连续，且在每一点 $x \in X$ 处满足 $f(x) \neq g(x)$。Stockman 和 Raines (Stockman, D. R.; Raines, B. R.: Chaotic sets and Euler equation branching, Journal of Mathematical Economics, 2010, Volume 46, pp. 1173-1193) 定义了平面 $\mathbb{R}^2$ 中的所谓混沌集，其存在性导致了 Devaney 混沌、Li-Yorke 混沌和分布混沌的存在。本文继 Stockman 和 Raines 的研究之后，证明了当两个分支均具有不在 $\mathbb{R}^2$ 同一点的双曲奇点（即 Jacobi 矩阵行列式非零的“经典”奇点）时，平面 $\mathbb{R}^2$ 中的混沌总是被允许的。然而，混沌的存在也是由欧拉方程分支的解集引起的，这些解必须满足源自所谓混沌集定义的条件。因此，我们研究了这一解集。在第二部分，我们构建了一个名为 IS-LM/QY-ML 的新宏观总体均衡模型。该模型的构建源于基础的宏观均衡模型 IS-LM，但与原始 IS-LM 模型相比，我们纳入了通货膨胀效应、内生货币供给、经济周期等所有重要的经济现象。我们研究了这一新 IS-LM/QY-ML 模型的动态行为，并展示了混沌何时存在及其相关的经济学解释。