无圆柱状 3-流形中奇异平面的存在性

设 $P$ 为凸余紧、无圆柱状双曲 3-流形 $M$ 中的测地平面。假设 $P^*=M^*\cap P$ 非空，其中 $M^*$ 为 $M$ 的凸核内部。这一条件是否蕴含 $P$ 在 $M$ 中要么闭要么稠密？肯定回答将给出 Ratner 定理在无限体积情形下的类比。在 arXiv:1802.03853 中已证明 $P^*$ 在 $M^*$ 中要么闭要么稠密。此外，使 $P^*$ 为闭的平面至多可数，且在所有先前已知例子中，$P$ 在 $M$ 中亦为闭。在本注记中我们表明可出现更奇异的行为：即给出一个显式例子 $(M,P)$，使得 $P^*$ 在 $M^*$ 中闭但 $P$ 在 $M$ 中不闭。特别地，上述问题的答案是否定的。因此，若无额外限制，Ratner 定理无法推广至无圆柱状 3-流形中的平面。