复金兹堡-朗道方程空穴解的存在性与稳定性

我们考虑了散焦非线性薛定谔方程（NLS）的金兹堡-朗道微扰以及近实复金兹堡-朗道方程（CGL）的空穴解或暗孤子解的存在性和稳定性。通过使用动力系统技术，证明了暗孤子可以作为NLS中存在的暗孤子的正则微扰或奇异微扰而持续存在。在考虑孤子的稳定性时，必须克服的一个主要困难是特征值可能从连续谱中分叉出来，即可能发生边缘分叉。由于NLS的连续谱覆盖虚轴，并且对于CGL它触及原点，这样的分叉可能导致不稳定的波。另一个重要的考虑因素是，即使连续谱中没有嵌入的特征值，边缘分叉也可能发生。在Kapitula和Sandstede (Physica D, 1998) 以及Kapitula (SIAM J. Math. Anal., 1999) 首次提出的思想基础上，我们证明当波作为正则微扰持续存在时，最多有三个特征值会从连续谱中分叉出来。此外，我们精确地追踪了这些分叉特征值，从而能够给出微扰波稳定的条件。对于NLS，结果是先前工作的改进和完善，而对于CGL，结果是新的。所提出的技术非常通用，因此适用于比本文所考虑的更广泛的问题类别。