具有非局部区域扩散的非线性薛定谔方程解的存在与多重性

本文关注以下具有非局部区域扩散的非线性薛定谔方程 $$(-\Delta)_{\rho_\epsilon}^{\alpha}u + u = f(u) \hbox{ in } \mathbb{R}^n, \quad u \in H^\alpha(\mathbb{R}^n), \qquad\qquad(P_\epsilon)$$ 其中 $\epsilon >0$，$0< \alpha < 1$，$(-\Delta)_{\rho_\epsilon}^{\alpha}$ 是区域分数阶拉普拉斯算子的变分版本，其作用范围是以 $\rho_\epsilon(x)=\rho(\epsilon x)>0$ 为半径的球，其中 $\rho$ 为连续函数。我们给出了关于 $\rho$ 和 $f$ 的一般条件，以确保 $(P_\epsilon)$ 解的存在性与多重性。