广义 Kadomtsev-Petviashvili 方程归一化解的存在性与数目性

本文研究广义 Kadomtsev-Petviashvili 方程在 $\mathbb{R}^2$ 中具有给定 $L^2$ 范数下的孤立波的存在性与数目性。方程为：\n\begin{equation*}\label{Equation1} \left\{\begin{array}{l} \left(-u_{x x}+D_x^{-2} u_{y y}+\lambda u-f(u)\right)_x=0,{\quad x \in \mathbb{R}^2, } \[10pt] \displaystyle \int_{\mathbb{R}^2}u^2 d x=a^2, \end{array}\right#%tag{$\mathscr E_\lambda$} \end{equation*}其中 $a>0$，$\lambda \in \mathbb{R}$ 为未知参数，作为拉格朗日乘子出现。对于 $f(t)=|t|^{q-2}t$，其中 $2<q<\frac{10}{3}$（$L^2$ 亚临界情形）和 $\frac{10}{3}<q<6$（$L^2$ 超临界情形），我们建立了上述方程的归一化基态解的存在性。此外，当 $f(t)=\mu|t|^{q-2}t+|t|^{p-2}t$，其中 $2<q<\frac{10}{3}<p<6$ 且 $\mu>0$ 时，我们证明了归一化基态解对应于关联能量泛函的局部最小值。在此情况下，我们进一步证明存在序列 $(a_n) \subset (0,a_0)$，其中 $a_n \to 0$ 当 $n \to +\infty$，使得对于每个 $a=a_n$，该问题 admitting 第二个能为正的解。就我们所知，这是首个研究在 $L^2$ 约束下广义 Kadomtsev-Petviashvili 方程解的问题，我们将其称为归一化解。