整数上兴奋随机游动的 excursion

已知整数上兴奋随机游动的几个相变由某个漂移参数 $\delta$ 刻画。对于常返性/暂留性，临界阈值为 $|\delta|=1$；对于弹道性，为 $|\delta|=2$；对于扩散性，为 $|\delta|=4$。本文确立了在 $|\delta|=3$ 处的相变。我们证明了：在给定返回起点的条件下，游动者返回起点的期望时间是有限的，当且仅当 $|\delta|>3$。这一结果源于对返回时间尾部行为作为 $\delta$ 函数的显式描述，该描述是通过将相关分支过程用平方 Bessel 过程进行扩散近似而实现的。