从 Lévy 过程的 Lipschitz 下 Minorant 出发的游程

对于 $\alpha >0$，函数 $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 的 $\alpha$-Lipschitz 下 minorant 是满足 $m \leq f$ 且对所有 $s,t \in \mathbb{R}$ 有 $\vert m(s) - m(t) \vert \leq \alpha \vert s-t \vert$ 的最大函数 $m : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$（若存在）。若 $X=(X_t)_{t \in \mathbb{R}}$ 是一个实值 Lévy 过程且不是斜率为 $\pm \alpha$ 的纯线性漂移，则 $X$ 的样本路径几乎必然具有 $\alpha$-Lipschitz 下 minorant，当且仅当 $\mathbb{E}[\vert X_1 \vert]< \infty$ 且 $\vert \mathbb{E}[X_1]\vert < \alpha$。将该下 minorant 记为 $M$，我们考虑接触集 $\mathcal{Z}:=\{ t \in \mathbb{R} : M_t = X_t \wedge X_{t-}\}$，由于它是再生且平稳的，其分布可理解为某从属过程“平稳化”的闭值域。我们给出了 Lévy 过程离开其接触集的游程的描述，类似于 It\^o 游程理论中的描述。我们研究了跨越零的特殊区间上游程的分布。我们还给出了在漂移为 $\beta$ 且 $\vert \beta \vert < \alpha$ 的带漂移布朗运动情形下其他“一般”游程的显式路径分解。最后，我们研究了用零之后接触集首点这一随机时间对布朗滤波的渐进扩张。