L\'evy 过程及其最大跳跃过程的分布表示与优超性

推导了 L\'evy 过程 $X_t$、其二次变差过程 $V_t$ 及其最大跳跃过程的分布恒等式，并利用这些恒等式对它们在“小时间”（即 $t\downarrow0$）下的渐近行为进行比较。这些表示是利用 $X$ 的底层跳跃 Poisson 点过程的性质构建的。除了揭示 $X$、$V$ 与其最大跳跃过程之间的联系外，它们还能用于研究多种极限行为。作为一个应用，我们研究了 $X_t$ 的“自归一化”版本，即 $X_t$ 分别除以 $\sup_{0<s\le t}\Delta X_s$ 或 $\sup_{0<s\le t}| \Delta X_s|$。由此，我们获得了 $X_t/\sup_{0<s\le t}\Delta X_s$ 和 $X_t/\sup_{0<s\le t}| \Delta X_s|$ 当 $t\downarrow0$ 时依概率收敛于 1 或 $\infty$ 的充要条件，这意味着 $X$ 要么与其最大跳跃相当，要么优超于其最大跳跃。前一种情况通常发生在 $X$ 的 L\'evy 测度在 0 处的奇异性相当温和（其尾部在 0 处缓慢变化）时，而后一种情况则与 $X$ 在 0 处的相对稳定性或正态吸引域有关（即在 0 处具有更陡峭的奇异性）。分析中的一个重要组成部分是最大正跳跃与最大负跳跃之间的相互作用方式。类似地，也可以获得针对“大时间”（即 $t\to \infty$）的结果版本。