噪声增强 Lévy 过程：Lévy-Itô 分解及其应用

步增强随机游动是一种具有记忆的离散时间过程：在每步以固定概率 $p \in (0,1)$ 重复一个均匀随机选取的已执行步，而以互补概率 $1-p$ 执行一个具有固定分布的独立步。在连续情形下，Bertoin 在 [7] 中的主要结果表明，由 Lévy 过程在网格尺寸为 $1/n$ 的时间剖分下的离散时间骨架所构造的随机游动，当 $n \uparrow \infty$ 时依有限维分布收敛到一个称为噪声增强 Lévy 过程的过程 $\hat{\xi}$。我们的第一个主要结果表明，噪声增强 Lévy 过程具有右连左极（rcll）路径，并满足以跳变的噪声增强 Poisson 点过程表示的噪声增强 Lévy-Itô 分解。我们引入 Lévy 过程与其增强版本 $(\xi, \hat{\xi})$ 的联合分布，并表明由 Lévy 过程骨架与其步增强版本构成的配对，当网格尺寸趋于 $0$ 时收敛于 $(\xi, \hat{\xi})$。作为一个应用，我们分析了 $\hat{\xi}$ 在原点处的增长率，并识别了其作为无穷可分过程的主要特征。