从灭绝时刻看分支过程：基于反射 Lévy 过程的路径分解

我们考虑一个不漂移至 $+\infty$ 的谱正 Lévy 过程 $X$，将其视为（亚）临界分支过程谱系结构的编码，即轮廓过程或探索过程 \cite{GaJa98,Lam10}。记 $I$ 为过去下确界过程，对每个 $t\geq 0$ 定义为 $I_t:= \inf_{[0,t]} X$，令 $\gamma$ 为反射过程 $X-I$ 离开 0 的游程达到其上确界的唯一时刻。我们证明该游程的 $\gamma$ 前子路径和 $\gamma$ 后子路径在时空反演下不变，这对 Lévy 过程游程的对偶性有若干推论。特别地，这意味着该游程的局部时间过程从其高度向后看时也是不变的。作为推论，我们得到某些（亚）临界分支过程——如（亚）临界 Crump-Mode-Jagers (CMJ) 过程和临界 Feller 扩散离开 0 的游程（即连续随机树的宽度过程）——从其灭绝时刻进行时间反演下是不变的。