阿贝尔范畴中极限与余极限正合性的再探讨

设 $\Sigma$ 为一个小范畴，$\mathcal{A}$ 为一个 $\Sigma$-余完备（相应地，$\Sigma$-完备）阿贝尔范畴。一个熟知的事实是，函子范畴 $\operatorname{Fun}(\Sigma,\mathcal{A})$（即 $\Sigma$ 到 $\mathcal{A}$ 的函子范畴）是阿贝尔范畴，且函子 $\mathsf{colim}_\Sigma(-):\operatorname{Fun}(\Sigma,\mathcal{A})\rightarrow\mathcal{A}$（相应地，$\mathsf{lim}_{\Sigma}(-):\operatorname{Fun}(\Sigma,\mathcal{A})\rightarrow\mathcal{A}$）左（相应地，右）伴随于 $\kappa^{\Sigma}:\mathcal{A}\rightarrow\operatorname{Fun}(\Sigma,\mathcal{A})$，其中 $\kappa^{\Sigma}$ 为相应的常图表函子。本文将证明函子 $\mathsf{colim}_\Sigma(-)$（相应地，$\mathsf{lim}_{\Sigma}(-)$）是正合的，当且仅当函子对 $\left(\mathsf{colim}_\Sigma(-),\kappa^{\Sigma}\right)$（相应地，$\left(\kappa^{\Sigma},\mathsf{lim}_{\Sigma}(-)\right)$）是 Ext-伴随的。作为我们结论的应用，我们将给出阿贝尔范畴中极限与余极限正合性已知结果的新证明。