阿贝尔范畴的幂零范畴与自伴函子

设 $\mathcal{C}$ 为加性范畴。$\mathcal{C}$ 的幂零范畴 $\mathrm{Nil} (\mathcal{C})$ 由对象对 $(X, x)$ 组成，其中 $X\in\mathcal{C}, x\in\mathrm{End}_{\mathcal{C}}(X)$ 且存在正整数 $n$ 使得 $x^n=0$；态射 $f:(X, x)\rightarrow (Y,y)$ 为满足 $fx=yf$ 的 $f\in \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$。本文建立了 $\mathrm{Nil}(\mathcal{C})$ 的一般理论，并证明当 $\mathcal{C}$ 为阿贝尔范畴时其为阿贝尔范畴。两个阿贝尔范畴等价当且仅当它们的幂零范畴等价，这推广了 Song、Wu 和 Zhang 的一个结果。作为一个应用，证明了在有限维向量空间的幂零范畴 $\mathrm{Nil}$ 上，所有自伴函子都自然同构于 $\mathrm{Hom}$ 和 $\mathrm{Tensor}$ 函子。$\mathrm{Hom}$ 和 $\mathrm{Tensor}$ 均可自然推广为 $\mathrm{Nil}(\mathcal{V})$ 上的 $\mathrm{HOM}$ 和 $\mathrm{Tensor}$ 函子，它们仍是自伴的，但本质不同。