扩张范畴与幂等完备

在先前工作基础上，我们研究由加法范畴与到阿贝尔群范畴的双可加函子构成的对$(\mathcal{C},\mathbb{E})$所关联的扩张范畴$\mathbb{E}\operatorname{-Ext}(\mathcal{C})$中的幂等元分裂。特别地，我们证明当幂等元在$\mathcal{C}$中分裂时，它们在$\mathbb{E}\operatorname{-Ext}(\mathcal{C})$中也分裂，从而使我们得以证明幂等完备与扩张范畴在2-范畴论意义下是相容的构造。进一步，我们证明：对Klapproth-Msapato-Shah意义下的$n$-正合范畴$(\mathcal{C},\mathbb{E},\mathfrak{s})$，先取幂等完备再考虑其扩张范畴所得到的确切范畴，等价于先取扩张范畴再取幂等完备所得到的确切范畴。这两种不同路径给出了一对2-函子，各自将小的$n$-正合范畴映到小的幂等完备确切范畴。我们给出的这些等价构成这两个2-函子之间的一个2-自然变换。本文也证明了在无小性假设下以及关于弱幂等完备的类似结果。