使有限呈现函子范畴在像下封闭具有构造性

对于一个加法范畴$\mathbf{P}$，我们给出范畴$\mathcal{Q}( \mathbf{P} )$的显式构造，其对象可被视作形式地表示给定态射$\gamma: A \rightarrow B$与$\rho: C \rightarrow B$在$\mathbf{P}$中的$\frac{\mathrm{im}( \gamma )}{\mathrm{im}( \rho ) \cap \mathrm{im}( \gamma )}$，即便$\mathbf{P}$不必容许商或像。我们展示了只要与合冲相关的基问题可被算法处理，就有可能在$\mathcal{Q}( \mathbf{P} )$中有效计算。我们证明了$\mathcal{Q}( \mathbf{P} )$与从$\mathbf{P}$到阿贝尔群范畴$\mathbf{Ab}$的反变函子范畴的子范畴等价，该子范畴包含所有有限呈现函子且在取像运算下封闭。此外，我们刻画了阿贝尔情形：$\mathcal{Q}( \mathbf{P} )$是阿贝尔的当且仅当它等价于$\mathrm{fp}( \mathbf{P}^{\mathrm{op}}, \mathbf{Ab} )$，即所有有限呈现函子的范畴，而根据Freyd的一个定理，后者是阿贝尔的当且仅当$\mathbf{P}$具有弱核。范畴$\mathcal{Q}( \mathbf{P} )$是计算机代数系统Macaulay2所用的有限呈现$R$-模数据结构（其中$R$为环）的范畴抽象。通过将之推广到任意加法范畴，我们展示了该数据结构也可用于建模有限呈现分次模、有限呈现函子，以及某些不必有限呈现的非相干环上的模。