无厄米对应物的精确可解 PT 对称哈密顿量

Bender 和 Mannheim 在最近的一篇论文中指出，不等频四阶导数 Pais-Uhlenbeck 振荡器模型存在一种实现方式，其中能量本征值为实数且有下界，Hilbert 空间内积正定，且时间演化是幺正的。该分析的核心在于认识到模型的哈密顿量 $H_{\rm PU}$ 是 PT 对称的。该哈密顿量通过一个形式被精确求出的相似变换映射到了传统的 Dirac-Hermitian 哈密顿量。本文探讨了同一模型的等频极限。研究表明，在此极限下，用于不等频情形的相似变换变得奇异，且 $H_{\rm PU}$ 变为 Jordan 块算符，该算符不可对角化，且其能量本征态数量少于本征值数量。此类哈密顿量没有厄米对应物。因此，等频 PT 理论作为一种独特的量子力学实现形式涌现出来。与该 Jordan 块哈密顿量相关的量子力学可以被精确处理。研究证明，Hilbert 空间是完备的，其中一组非定态薛定谔方程解替代了缺失的定态解。需要这些非定态来确立等频 Pais-Uhlenbeck 模型的 Jordan 块哈密顿量能够产生幺正时间演化。