${\cal PT}$对称量子力学的精确WKB分析：Ai-Bender-Sarkar猜想的研究

我们对由势能$V(x) = \omega^2 x^2 + g x^2(i x)^{\varepsilon=2}$（其中$\omega \in {\mathbb R}_{\ge 0}$，$g \in {\mathbb R} _{> 0}$）定义的${\cal PT}$对称量子力学进行精确WKB分析。我们特别旨在验证Ai-Bender-Sarkar (ABS)提出的一个猜想，该猜想涉及$D$维${\cal PT}$对称理论与厄米理论在能谱或欧几里得配分函数方面的解析延拓(AC)关系。为此，我们通过精确WKB分析构造能量量子化条件，并通过求解这些条件写出其transseries解。通过对能量解进行alien微积分，我们验证了ABS猜想的有效性，并在其被违反时通过Borel求和理论探索其替代形式的可能性。我们的结果表明，ABS猜想的有效性在$\omega > 0$和$\omega = 0$时发生剧烈变化：如果${\omega}>0$，则ABS猜想在超过第一个非微扰阶的半经典水平时被违反，但其替代形式可以通过Borel求和理论构造。${\cal PT}$能量与AC能量通过一个单参数Stokes自同构相关联，而AC能量（或${\cal PT}$能量）的中值重求和形式（对应于形式精确解）可直接通过对${\cal PT}$能量（或AC能量）的transseries解进行Borel求和得到。如果$\omega = 0$，则关于能级逆展开，不仅${\cal PT}$能量与AC能量的微扰/非微扰结构不匹配，它们的微扰部分也不匹配。这些能量是独立的解，无法通过Borel求和理论重新表述ABS猜想的任何替代形式。