PT 对称 Sturm-Liouville 问题的 WKB 分析. II

在先前的论文中已经证明，单转折点 WKB 近似能够准确描述在有限区间上具有 Dirichlet 边界条件的某些非厄米 PT 对称 Hamiltonian 的谱。该分析适用的势包括线性势 $V=igx$ 和正弦势 $V=ig\sin(\alpha x)$。然而，单转折点分析无法给出三次势 $V=igx^3$ 谱的完整结构，特别是它无法重现两个实本征值合并并成为复共轭对的临界点。本文将该方法推广到 WKB 路径穿过一对转折点的情况。推广后的方法对 $V=igx^3$ 的谱给出了极其精确的近似，并且更一般地，它适用于 $V=igx^{2N+1}$ 形式的势。当应用于具有 $x$ 的半整数次幂的势时，该方法对于耦合常数的某一符号再次表现良好，即转折点位于下半平面第一叶上的情况。