所有势能域中的精确 WKB 方法

我们通过分析 Airy 和 Weber 类型问题，探讨了 exact-WKB（EWKB）方法，重点关注在多个势能域中对局部共轭势能的精确量化。我们工作的核心创新在于引入一种对能量参数 $u$ 的新型复数化方法，不同于常用于 Borel 可求和性分析中的（半经典）展开参数的复数化。这种新技术允许在保持精确量化条件的前提下，跨越势能域的连续解析延拓。通过重新定义势能障壁顶部上的 $A$ 周期，我们确保量化条件保持实数性，并通过运用 Stokes 自变换和中位可求和，展示了在势能域之间转换时，resurgence 结构得以保持。进一步，我们讨论了 Weber 类型 exact-WKB 方法，提供了关于所有类型 saddle 点附近的量子动作的精确估计，进一步推广了先前结果。通过对这些量子动作的分析，我们揭示了 $S$-对称性的存在，这有助于在扰动与非扰动行为之间实现交换，并我们推测双理论之间的 P-NP 关系映射。我们的研究涵盖了周期性和对称双壁势能，表明 exact-WKB 方法能够捕捉量子系统在所有势能域中的精细结构，包括多无穷动力学贡献和量子动作的 resurgence。