解析函数空间中各向异性 1 维偏微分方程的精确可控性

本文证明了关于区间 $(0,1)$ 上一般形式的 1 维偏微分方程的局部可控性结果。我们考虑的 PDE 形式为 $\partial_t^N y=\zeta_M \partial_{x}^{M}y+f(x , y , \partial_{x} y,\ldots, \partial_x^{M-1} y)$，其中 $1\le N < M$，$\zeta_M\in \mathbb{C} ^*$，且 $f$ 为次低阶的线性或非线性项。在此背景下，我们证明了在解析函数之间的局部可控性结果。如果存在边界条件，则在满足自然平滑解存在条件的兼容条件的解析函数之间的类似局部可控性结果也成立。该证明通过研究空间变量中的非线性 Cauchy 问题，并数据位于 Gevrey 函数空间中，进而考察空间导数阶梯与时间导数阶梯之间的关系来实现。我们给出了各种应用示例，包括（良好和坏的）布尔森斯方程、金斯温-朗华方程、库尔马托-西瓦西纳方程以及科尔特维克-德维利方程。