一类抛物型偏积分微分方程的近似可控性

在本文中，我们讨论由以下抽象形式的抛物型积分微分方程 (PIDE) 支配的分布控制问题 \begin{eqnarray*} \frac{\partial y}{\partial t} + A y &=& \int_0^t B(t, s) y(s) ds + Gu, \;\, t \in [0, T], \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;, \hfill{(\ast)}\\ y(0) &=& y_0 \, \in X, \nonumber \end{eqnarray*} 其中，$y$ 表示状态空间变量，$u$ 是控制变量，$A$ 是 Hilbert 空间 $X$ 中的自伴正定线性（不一定有界）算子，其稠密定义域 $D(A) \subset X$，$B(t,s)$ 是无界算子，关于 $t$ 和 $s$ 光滑，且对于 $0 \leq s \leq t \leq T$ 满足 $D(A) \subset D(B(t,s)) \subset X$，$G$ 是从控制空间到 $X$ 的有界线性算子。假设相应的演化方程（($\ast)$ 中 $B \equiv 0$）是近似可控的，证明了分布控制问题 ($\ast$) 的近似控制集是非空的。该问题首先被视为受约束的最优控制问题，然后通过合适的惩罚函数将其近似为无约束问题。受约束问题的最优对被获得为无约束问题最优对序列的极限。还证明了保证数值方案收敛于最优对序列的逼近定理。