Schatten 单位球的精确渐近体积与体积比

有限维 Schatten 迹类 S_p^n 的单位球 B_p^n(ℝ) 由所有实 n×n 矩阵 A 组成，其奇异值 s_1(A),…,s_n(A) 满足 s_1^p(A)+…+s_n^p(A)≤1，其中 p>0。Saint Raymond [Studia Math. 80, 63–75, 1984] 证明了极限 $$\lim_{n\to\infty} n^{1/2 + 1/p} \big(\text{Vol}\, B_p^n(\mathbb{R})\big)^{1/n^2}$$ 存在于 (0,∞) 中，并给出了上下界。本文基于带外场的对数势理论思想确定了精确的极限常数。对复 Schatten 球也得到了类似结果。作为应用，我们计算了当 n→∞ 时 Schatten p-球的精确渐近体积比，从而将 Saint Raymond 在核范数（p=1）情形下的估计推广至完整区间 1≤p≤∞ 并具有精确极限行为。