最大熵原理与 Orlicz 球的体积性质

我们研究了 Orlicz 空间中球的精确渐近体积，并表明当两个 Orlicz 球的交的体积在环境空间维数趋于无穷时发生相变。这推广了 Schechtman 和 Schmuckenschl\"ager [GAFA, Lecture notes in Math. 1469 (1991), 174--178] 关于 $\ell_p^d$-球的结果。作为另一应用，我们确定了 $2$-凹 Orlicz 空间 $\ell_M^d$ 的精确渐近体积比。我们的方法基于统计力学和大偏差理论的思想，更确切地说是基于无相互作用粒子的最大熵或 Gibbs 原理，并对此类几何与体积问题给出了一种自然的方法和崭新的视角。特别地，我们的方法解释了 $p$-广义高斯分布如何出现在与 $\ell_p^d$-球的几何相关的问题中，而当 Orlicz 函数为 $M(t) = |t|^p$ 时，$\ell_p^d$-球正是 Orlicz 球。