夏娃、亚当与优先连接树

我们考虑在较大时刻的 Barabási–Albert 树过程 $(\mathcal{T}(n) : n \geq 1)$ 中寻找初始顶点（亚当）的问题。更确切地说，给定 $\varepsilon>0$，希望输出 $\mathcal{T}(n)$ 顶点的一个子集 $\mathcal{P}_{\varepsilon}(n)$，使得当 $n$ 较大时初始顶点以至少 $1-\varepsilon$ 的概率属于 $\mathcal{P}_\varepsilon(n)$。Bubeck、Devroye 与 Lugosi 已证明，后来由 Banerjee 与 Huang 改进，成功所需输出的顶点数至少为 $\varepsilon^{-1 + o(1)}$、至多为 $\varepsilon^{-2 + o(1)}$。我们证明了下界中的指数是紧的，其关键思想在于亚当要么是一个“大度”顶点，要么是某个“大度”顶点（夏娃）的邻居。