优先连接树中的高度数顶点

我们研究基本的优先连接过程，该过程生成一系列随机树，每棵树由前一棵树通过引入一个新顶点并将其连接到按度数比例概率选择的一个现有顶点而得到。我们研究每个度数 $\ell$ 的顶点数 $D_t(\ell)$ 在每个时刻 $t$ 的情况，特别关注 $\ell$ 是 $t$ 的递增函数的情形。我们证明，对于所有满足 $\ell \le (t/\log t)^{-1/3}$ 的 $\ell$，$D_t(\ell)$ 集中在其均值附近，该均值约为 $4t/\ell^3$；这在相差一个对数因子的意义下是最优的。