能带的欧拉示性数与非整数值成因

我们前期工作提出的能带拓扑欧拉示性数（见 Yu-Quan Ma 等, arXiv:1202.2397; EPL 103, 10008 (2013)）近来被 X. Tan 等, Phys. Rev. Lett. \textbf{122}, 210401 (2019) 实验观测到，其中利用超导电路模拟的时间反演对称系统中的拓扑相变由占据带的欧拉数而非消失的陈数见证。然而，我们注意到关于拓扑平庸相中欧拉数的非整数行为存在一些困惑。本文指出，其原因直接源于量子度规张量 $g_{\mu \nu}$ 实际上是半正定的。在一般二维两带系统中，我们可证明：(1) 若相为拓扑平庸，则量子度规必退化（奇异）——在第一布里渊区某些区域有 $\det {g_{\mu \nu} }=0$。这导致高斯-博内公式失效，并表现出定义不良的“非整数欧拉数”；(2) 若相为具有非零贝里曲率的拓扑非平庸相，则量子度规在整个第一布里渊区为正定黎曼度规。因此，由闭二维布洛赫能带流形（亏格为 $g$）上的高斯-博内定理，能带的欧拉数必有保证为偶数 $\chi=2(1-g)$，这为一类非平庸拓扑相提供了有效的拓扑指数。