偶阶强奇异齐次半直线微分算子的本质自伴性

我们在空间 $C_0^{\infty}((0,\infty))$ 上考虑与如下类型的微分表达式相关联的偶阶、强奇异、齐次微分算子的本质自伴性：$$\tau_{2n}(c) = (-1)^n \frac{d^{2n}}{d x^{2n}} + \frac{c}{x^{2n}}, \quad x > 0, \; n \in \mathbb{N}, \; c \in \mathbb{R},$$ 于 $L^2((0,\infty);dx)$ 中。虽然 $n=1$ 的特殊情形是经典的，且众所周知 $\tau_2(c)\big|_{C_0^\infty((0,\infty))}$ 本质自伴当且仅当 $c \geq 3/4$，但 $n \in \mathbb{N}$, $n \geq 2$ 的情形远非显然。特别地，一开始完全不清楚 $$\text{ 是否存在 } c_n \in \mathbb{R}, \, n \in \mathbb{N}, \text{ 使得 } \tau_{2n}(c)\big|_{C_0^\infty((0,\infty))} \, \text{ 本质自伴当且仅当 } c \geq c_n. \tag{*}\label{0.1}$$ 作为本文的主要结果之一，我们确实建立了满足 $c_n \geq (4n-1)!!\big/2^{2n}$ 的 $c_n$ 的存在性，使得性质 \eqref{0.1} 成立。与类似的下方有界性问题形成鲜明对比，$$\text{ 对于哪些 } c \text{ 值，} \tau_{2n}(c)\big|_{C_0^{\infty}((0,\infty))} \, \text{ 是下方有界的？}$$ 该问题允许尖锐（且显式）的答案 $c \geq [(2n -1)!!]^{2}\big/2^{2n}$, $n \in \mathbb{N}$，而 \eqref{0.1} 的答案却出奇地复杂，并涉及多项式的几何与分析理论的各个方面。为完整起见，我们明确记录，$$c_1 = 3/4, \quad c_2= 45, \quad c_3 = 2240 \big(214+7 \sqrt{1009}\,\big)\big/27,$$ 并注意到 $c_n$ 是一个 $n-1$ 次多项式的根。我们证明对于 $n=6,7$，$c_n$ 是在 $\mathbb{Q}$ 上不能表示为根式的代数数（并猜想这事实上对一般的 $n \geq 6$ 成立）。