带乘性噪声的朗之万动力学的本质m-耗散性与亚 coercive 性

我们针对带乘性噪声的退化朗之万动力学，给出了 $L^2$-Hilbert 空间亚 coercive 定理的完整阐述，研究了求解相应倒向 Kolmogorov 算子抽象 Cauchy 问题的强连续压缩半群的长时行为。常扩散矩阵朗之万动力学的亚 coercive 性此前由 Dolbeault、Mouhot 和 Schmeiser 在相应的 Fokker-Planck 框架下证明，并由 Grothaus 和 Stilgenbauer 在 Kolmogorov 倒向设定中严格化。我们将这些结果推广到弱可微扩散系数矩阵，为相应的随机微分方程引入乘性噪声。收敛速率根据这些数据系数和给出外力的势的选取被显式算出。为获得抽象 Cauchy 问题的解，我们首先利用先前的椭圆正则性结果以及 Bogachev、Krylov 和 R"ockner 的技术，证明 Hilbert 空间上非退化椭圆 Dirichlet 算子的本质自伴性。我们应用算子扰动理论得到 Kolmogorov 算子的本质 m-耗散性，推广了 Conrad 和 Grothaus 的 m-耗散性结果。我们强调所选取的 Kolmogorov 方法是自然的，因为广义 Dirichlet 型理论蕴含朗之万半群作为扩散过程转移核的随机表示，该扩散过程给出带乘性噪声的朗之万方程的鞅解。此外，我们表明即便弱解也以此方式获得。