带 α-稳定 Lévy 噪声的随机哈密顿系统的 $L^2$-指数遍历性

基于 Villani \cite{Villani} 提出的亚强制性方法，Dolbeault、Mouhot 和 Schmeiser \cite{DMS} 建立了一个新颖且简单的框架，用以直接研究动力学 Fokker-Planck 方程解的 $L^2$-指数收敛到平衡态的问题。如今，\cite{DMS} 中发展的通用框架被称为亚强制性的 DMS 框架。随后，Grothaus 和 Stilgenbauer \cite{Grothaus} 在动力学 Fokker-Planck 设定下构建了 DMS 框架的对偶版本。无论是 \cite{DMS} 中的抽象 DMS 框架，还是 \cite{Grothaus} 中的对偶版本，都假设所涉及的稠定线性算子可分解为两部分，其中一部分是对称的，另一部分是反对称的。因此，现有的 DMS 框架不适用于研究带 α-稳定 Lévy 噪声的随机哈密顿系统的 $L^2$-指数遍历性，因为其相关无穷小生成元的一部分是反对称的，而另一部分不是对称的。在本文中，我们将在分数阶动力学 Fokker-Planck 设定下发展 DMS 框架的一个对偶版本，其中所考虑的稠定线性算子的一部分不必是对称的。作为一个直接应用，我们探索了带 α-稳定 Lévy 噪声的随机哈密顿系统的 $L^2$-指数遍历性。证明还基于非局部稳定型 Dirichlet 型的 Poincaré 不等式以及分数阶 Riesz 位势的位势理论。