通过量子仿射代数表示研究等变重数

对于任意单连通型单李代数 $\mathfrak{g}$ 以及任意适配于 $\mathfrak{g}$ 的 Dynkin 图定向 $Q$ 的高度函数 $\xi$，Hernandez-Leclerc 引入了量子仿射代数 $U_q(\widehat{\mathfrak{g}})$ 的某个表示范畴 $\mathcal{C}^{\leq \xi}$，以及 $\mathcal{C}^{\leq \xi}$ 的一个子范畴 $\mathcal{C}_Q$，其复化 Grothendieck 环同构于极大单幂子群的坐标环 $\mathbb{C}[\mathbf{N}]$。在本文中，我们在包含 $K_0(\mathcal{C}^{\leq \xi})$ 在截断 $q$-特征标态射下像的环面 $\mathcal{Y}^{\leq \xi}$ 上定义一个代数态射 $\widetilde{D}_{\xi}$。我们证明 $\widetilde{D}_{\xi}$ 到 $K_0(\mathcal{C}_Q)$ 的限制与 Baumann-Kamnitzer-Knutson 在其关于 Mirkovi\'c-Vilonen 循环的等变重数研究中最近引入的态射 $\overline{D}$ 一致。这是利用 $\mathcal{C}_Q$ 中 Kirillov-Reshetikhin 模的特征标所满足的 T-系统，以及 Brundan-Kleshchev-McNamara 关于箭图 Hecke 代数表示理论的某些结果实现的。对 $\overline{D}$ 的这一另类描述使我们证明了第一作者关于 $\overline{D}$ 在 $\mathbb{C}[\mathbf{N}]$ 的旗式子式上取特定值的猜想。我们还从 Kang-Kashiwara-Kim-Oh 的广义 Schur-Weyl 对偶角度给出了结果的应用。最后，我们定义一个簇代数 $\overline{\mathcal{A}}_Q$ 作为 $K_0(\mathcal{C}^{\leq \xi})$ 的自然包含 $\mathbb{C}[\mathbf{N}]$ 的子商，并推测在 $\overline{\mathcal{A}}_Q$ 中存在 Mirkovi\'c-Vilonen 基的类似物，其上 $\widetilde{D}_{\xi}$ 的值可解释为某些等变重数。