单链型旗行列式的等变重数

设 $\mathfrak{g}$ 为有限单链型单李代数。Baumann-Kamnitzer-Knutson 近来借助几何 Satake 对应定义了对坐标环 $\mathbb{C}[N]$ 上与 Brion 等变重数相关的代数态射 $\overline{D}$。已知该映射在对应于光滑 MV 圈的 MV 基元素上，以及在对应于箭图 Hecke 代数上 Kleshchev-Ram 强齐次模的对偶典范基元素上取特殊值。本文中我们证明当 $\mathfrak{g}$ 为 $A_n$ 或 $D_4$ 型时，映射 $\overline{D}$ 在 $\mathbb{C}[N]$ 的所有旗行列式集合上取类似的特殊值，从而引出相应 MV 圈光滑性的问题。我们还展示了属于同一标准种子的旗行列式上 $\overline{D}$ 取值之间的某些关系，并证明在任意 $ADE$ 型中这些关系在从一个标准种子到另一个标准种子的簇变异下保持不变。这些结果的证明部分依赖于 Kang-Kashiwara-Kim-Oh 借助箭图 Hecke 代数表示对 $\mathbb{C}[N]$ 簇结构的幺半群范畴化。