通过破碎轨迹的反射作用等价 Morse 同调

我们考虑有限群 $G$ 对流形 $M$ 的作用。对于任何等价 Morse 函数（即一般情况），并不总是存在在 $M$ 上定义的等价度量 $g$，使得对 $(f,g)$ 是 Morse-Smale。若将 $(f,g)$ 称为 Morse-Smale，当下游流形和上游流形发生横交时。使 $(f,g)$ 达到稳定 Morse-Smale 的度量是最佳选择。若满足 $\phi: M \to M$ 是反射若 $\phi^2 = \operatorname{id}$ 且其固定点集合形成一个余维为一的子流形（$M \setminus M^{\operatorname{fix}}$ 不一定是离散的）。本文聚焦于特殊情况 $G = \{\operatorname{id}, \phi\}$。我们证明，稳定 Morse-Smale 条件对度量 $g$ 来说是普适的。给定一个稳定 Morse-Smale 对， 我们引入一种规范的等价 Thom-Smale-Witten 复合体，通过计数特定的破碎轨迹来实现。这在流形有边界且 Morse 函数在边界上存在临界点的情况下具有应用。我们提供另一种 Thom-Smale-Witten 复合体的定义，这些复合体与 Kronheimer 和 Mrowka 定义的复合体是准同构的。我们还探讨了由多个反射生成的群 $G$ 的情况。作为一个例子，我们通过计数破碎轨迹计算了直立高谱 surface 的 Thom-Smale-Witten 复合体。