Ritter-Weiss 模的等变 Iwasawa 理论及其应用

我们考虑一个有限的、阿贝尔的 CM 扩张 $H/F$，其中 $F$ 是全实数域，并构造了一个 $\mathbb{Z}_p[[G(H_\infty/F)]]-$ 模 $\nabla_S^T(H_\infty)_p$，其中 $p>2$ 为素数，$H_\infty$ 是 $H$ 的分圆 $\mathbb{Z}_p$-扩张。这是 Ritter 和 Weiss 在 \cite{Ritter-Weiss} 中引入并由 Dasgupta 和 Kakde 在 \cite{Dasgupta-Kakde} 中进一步研究的模的 Iwasawa 理论类比。我们的主要结果表明 $\Bbb Z_p[[G(H_\infty/F]]^-$-模 $\nabla_S^T(H_\infty)_p$ 的射影维数为 1，具有二次表示，且其 Fitting 理想是主理想，由一个等变 $p$-进 $L$-函数 $\Theta_S^T(H_\infty/F)$ 生成。作为第一个应用，我们计算了一个算术上重要的 $\Bbb Z_p[[G(H_\infty/F)]]^-$-模 $X_S^{T,-}$ 的 Fitting 理想，它是经典无分歧 Iwasawa 模 $X$（$H_\infty$ 的最大阿贝尔无分歧 pro-$p$ 扩张的 Galois 群）的一个变体，推广了 Greither-Kataoka-Kurihara \cite{Greither-Kataoka-Kurihara} 的早期结果。这些都是所谓的全实数域 Iwasawa 理论中的等变主猜想的实例，细化了 Wiles \cite{wiles} 证明的经典主猜想。最后，作为另一个应用，我们给出了一个简短的 Iwasawa 理论证明，证明了 Artin 动机 $h_{H/F}$ 的等变 Tamagawa 数猜想的负 $p$-部分，对所有素数 $p>2$ 成立，该结果也由 Bullack-Burns-Daoud-Seo \cite{Bullach-Burns-Daoud-Seo} 和 Dasgupta-Kakde-Silliman \cite{Dasgupta-Kakde-Silliman-ETNC} 独立地用不同的（Euler 系统）方法得到。