Iwasawa 理论中的一个无条件主猜想及其应用

我们改进了 Dasgupta-Kakde 近期关于某些与阿贝尔 CM 扩张 $H/F$（其中 $F$ 为全实数域）相关的 Selmer 模 $Sel_S^T(H)^-$ 的 $\Bbb Z[G(H/F)]^-$-Fitting 理想的关键基石结果，并借此计算了这些 Selmer 模的 Iwasawa 模类比 $Sel_S^T(H_\infty)_p^-$ 的 $\Bbb Z_p[[G(H_\infty/F)]]^-$-Fitting 理想，其中 $H_\infty$ 是 $H$ 的分圆 $\Bbb Z_p$-扩张，对应奇素数 $p$。我们的 Iwasawa 理论主结果陈述如下：$\Bbb Z_p[[G(H_\infty/F]]^-$-模 $Sel_S^T(H_\infty)_p^-$ 的射影维数为 $1$，是二次表示的，且其 Fitting 理想为主理想，由一个等变 $p$-进 $L$-函数 $\Theta_S^T(H_\infty/F)$ 生成。进一步，我们建立了 $Sel_S^T(H_\infty)_p^-$ 与某个 $\Bbb Z_p[[G(H_\infty/F)]]^-$-模 $\mathcal M_S^T(H_\infty)^-$ 之间的完美对偶配对，后者本质上由 Greither-Popescu 早先引入。作为推论，我们恢复了 Greither-Popescu 在经典 Iwasawa $\mu$-不变量（关联于 $H$ 与 $p$）为零的假设下证明的 Tate 模 $T_p(\mathcal M_S^T(H_\infty))^-$ 的等变主猜想。作为另一推论，我们对精化 Coates-Sinnott 猜想给出了无条件证明——该猜想由 Greither-Popescu 在同一 $\mu=0$ 假设下证明，且近期 Johnston-Nickel 用不同方法也已无条件证明——涉及高阶 Quillen $K$-群 $K_{2n-2}(\mathcal O_{H,S})$ 的 $\Bbb Z[G(H/F)]$-Fitting 理想，对所有 $n\geq 2$。最后，我们将过程中发展的技巧与“Taylor-Wiles 素数”方法结合，进一步强化 Dasgupta-Kakde 的关键基石结果，并作为推论证明了 Burns-Kurihara-Sano 关于 CM 数域 Selmer 群 Fitting 理想的猜想。