准格序幺半群的平衡态与增长

准格序幺半群上的每个乘法实值同态都在相关的 Toeplitz C*-代数上产生准周期动力学；在此我们研究由此产生的 C*-动力系统的 KMS 平衡态。我们证明，在同态的非简并假设下，存在一个临界逆温度 $\beta_c$，使得在每个逆温度 $\beta \geq \beta_c$ 处都存在唯一的 KMS 态。严格高于 $\beta_c$ 时，KMS 态是广义 Gibbs 态，其密度算子由实现动力学的酉算子到上半平面的解析延拓所确定。这些是忠实的 Type~I 态。临界值 $\beta_c$ 是系统配分函数的最大实极点，并且与幺半群的团多项式和斜增长函数相关，相对于由乘法同态的对数给出的度映射。出于对平衡态研究的动机，我们证明了准格序幺半群增长级数的反演公式，对于有限生成情形，其以团多项式表示，正如 Albenque--Nadeau 和 McMullen 近期的工作；以斜增长级数表示，正如 Saito 近期的工作。具体而言，我们证明 $e^{-\beta_c}$ 是增长级数的最小极点，因此是团多项式的最小正实根。我们利用这一点证明亚临界范围内的平衡态只能出现在对应于团多项式在区间 $(e^{-\beta_c},1)$ 内的根的逆温度处，但我们不知道任何存在此类根的例子。