分层晶格上有向聚合物模型的中间无序区

我们研究了定义在分层钻石晶格上的有向聚合物模型，其中晶格通过依赖于分支数 $b\in \mathbb{N}$ 和段数 $s\in \mathbb{N}$ 的配方递归构造。当 $b\leq s$ 时，先前的工作 [27] 已经证明该模型对所有正逆温度 $\beta$ 值均表现出强无序，因此弱无序仅在 $\beta=0$（无限温度）时占主导。我们的重点是所谓的中间无序区，即逆温度 $\beta\equiv \beta_{n}$ 随着系统尺寸 $n$ 的增长以适当速率趋于零。我们的分析需要对 $b<s$ 和 $b=s$ 两种情况进行分别处理。在 $b<s$ 的情况下，我们证明当逆温度取 $\beta_{n}=\widehat{\beta} (b/s)^{n/2}$（其中 $\widehat{\beta}>0$）的形式时，系统的归一化配分函数在 $n \to \infty$ 时弱收敛至一个连续依赖于参数 $\widehat{\beta}$ 的分布 $\mathbf{L}(\widehat{\beta})$。在 $b=s$ 的情况下，我们发现当逆温度标度为 $\beta_{n}=\widehat{\beta}/n$ 时模型行为存在一个临界点；对于可显式计算的临界值 $\kappa_{b} > 0$，当 $\widehat{\beta}\leq \kappa_{b}$ 时，归一化配分函数的方差随 $n$ 增大收敛于零，而当 $\widehat{\beta}>\kappa_{b}$ 时则无界增长。最后，我们证明了当 $\widehat{\beta}\leq \kappa_{b}$ 时归一化配分函数的中心极限定理。