标准 Young 表与横截集上集值统计量的等分布

作为置换的自然推广，Young 图的横截在避免模式置换的研究中起着重要作用。令 $\mathcal{T}_{\lambda}(\tau)$ 和 $\mathcal{ST}_{\lambda}(\tau)$ 分别表示 Young 图 $\lambda$ 的避免 $\tau$ 的横截集合与避免 $\tau$ 的对称横截集合。本文主要关注标准 Young 表与避免模式横截上峰集与谷集的分布。特别地，通过在标准 Young 表上引入 Knuth 变换，我们证明了对于任意斜图 $\lambda/\mu$，峰集与谷集在形状为 $\lambda/\mu$ 的标准 Young 表上是等分布的。该等分布使我们能够证明：对于任意 Young 图 $\lambda$ 以及 $\{k+1, k+2, \ldots, k+m\}$（其中 $k,m\geq 1$）的任意置换 $\tau$，峰集在 $\mathcal{T}_{\lambda}(12\cdots k\tau)$（相应地，$\mathcal{ST}_{\lambda}(12\cdots k \tau)$）与 $\mathcal{T}_{\lambda}(k\cdots 21\tau)$（相应地，$\mathcal{ST}_{\lambda}(k\cdots 21\tau)$）上是等分布的。我们的结果细化了 Backelin-West-Xin 的 $|\mathcal{T}_{\lambda}(12\cdots k\tau)|=|\mathcal{T}_{\lambda}(k\cdots 21 \tau)|$ 以及 Bousquet-M\'elou 和 Steingr\'imsson 的 $|\mathcal{ST}_{\lambda}(12\cdots k \tau)|=|\mathcal{ST}_{\lambda}(k\cdots 21 \tau)|$ 的结论。