仙状群在标准 Young 表块上的最大可传递性

仙状群 $C_n$ 对给定形状 $\lambda$ 的 Young 表块的作用可追溯至 Berenstein 和 Kirillov，并自然出现在晶体基和量子可积系统的研究中。我们证明了该作用在形状为 $\lambda$ 的标准 Young 表块上是 $2$-可传递的当且仅当 $\lambda$ 非自转置且非单棒形。此外，我们证明在这些情况下，仙状群在标准 Young 表块的置换群中的像要么是整个置换群，要么是交替群，我们证明两者对无限多个 $\lambda$ 都可能发生（尽管交替群更常见）。作为应用，这意味着附着于 Lie 群 $GL_d$ 的 Gaudin 模型中 Bethe ansatz 的解的 Galois 群在许多情况下至少是交替群。这也将 Sottile 和 White 关于 Grassmannian 中 Schubert 微分学问题 Galois 群多重可传递性的结果推广到许多新的情形。