仙人掌群与 Bethe 矢量的单值性

仙人掌群是稳定有理曲线 Deligne-Mumford 模空间实轨迹的基本群。该群自然地作为余边界幺半范畴中辫群的类比而出现。我们定义了仙人掌群在对应于任意半单李代数 $\mathfrak{g}$ 的 Gaudin 磁体链的 Bethe 矢量集合上的作用。在我们的构造中，仙人掌群作为 Bethe Ansatz 方程伽罗瓦群的一个子群出现。遵循 Pavel Etingof 的思想，我们猜想该作用同构于仙人掌群在源自一般余边界范畴形式主义的晶体张量积上的作用。我们在 $\mathfrak{g}=\mathfrak{s}\mathfrak{l}_2$ 的情形下证明了这一猜想（事实上，对于此情形，该猜想几乎可直接从 Varchenko 关于 KZ 方程渐近解和晶体基的结果中得出）。我们还提出了一些猜想，将此结果推广至参数平移子代数的 Bethe 矢量，并将仙人掌群与 Gelfand-Tsetlin 多面体的分段线性对称性的 Berenstein-Kirillov 群联系起来。