阿贝尔范畴中的枚举不变量与穿墙公式

代数几何中的枚举不变量在某些几何问题中，利用模空间 ${\cal M}_a^{\rm st}(\tau)\subseteq{\cal M}_a^{\rm ss}(\tau)$（$\tau$-(半)稳定对象的模空间）的同调中的虚类 $[{\cal M}_a^{\rm ss}(\tau)]_{\rm virt}$，来“计数”具有固定拓扑不变量 $[E]=a$ 的 $\tau$-(半)稳定对象 $E$。我们通过取上同调类 $\Upsilon$ 的积分 $\int_{[{\cal M}_a^{\rm ss}(\tau)]_{\rm virt}}\Upsilon$ 得到数值。设 $\cal A$ 为代数几何中的一个 $\mathbb C$-线性阿贝尔范畴。$\cal A$ 中的对象有两个模栈：通常的模栈 $\cal M$，以及“射影线性”模栈 $\cal M^{\rm pl}$。我们赋予 $H_*({\cal M})$ 一个顶点代数结构，并赋予 $H_*({\cal M}^{\rm pl})$ 一个李代数结构。虚类 $[{\cal M}_a^{\rm ss}(\tau)]_{\rm virt}$ 位于 $H_*({\cal M}^{\rm pl})$ 中。我们在这样的 $\mathcal A$ 中发展了一套枚举不变量的通用理论。虚类 $[{\cal M}_a^{\rm ss}(\tau)]_{\rm virt}$ 仅在 ${\cal M}_a^{\rm st}(\tau)={\cal M}_a^{\rm ss}(\tau)$ 时有定义。我们对所有 $a$ 在 $H_*({\cal M}^{\rm pl})$ 中定义不变量 $[{\cal M}_a^{\rm ss}(\tau)]_{\rm inv}$，且当 ${\cal M}_a^{\rm st}(\tau)={\cal M}_a^{\rm ss}(\tau)$ 时 $[{\cal M}_a^{\rm ss}(\tau)]_{\rm inv}=[{\cal M}_a^{\rm ss}(\tau)]_{\rm virt}$。若 $\tau,\tau'$ 是 $\cal A$ 上的稳定性条件，我们利用 $H_*({\cal M}^{\rm pl})$ 上的李括号证明了一个穿墙公式，将 $[{\cal M}_a^{\rm ss}(\tau')]_{\rm inv}$ 用 $[{\cal M}_b^{\rm ss}(\tau)]_{\rm inv}$ 表示出来。我们将结果应用于 $\cal A$ 为箭图或带关系箭图的表示，或曲线、曲面或 Fano 3-折 $X$ 的 coh$(X)$，或曲线或曲面 $X$ 的 coh$(X)$ 中“对”的范畴。这证明了 Gross-Joyce-Tanaka arXiv:2005.05637 中的猜想。